Поворотная симметрия в природе примеры

Поворотная симметрия в природе

Поворотная симметрия в природе. В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Обратим внимание на цветок анютиных глазок. Он совместится сам с собой только при повороте на 360°. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. Такие оси присутствуют в любом теле, и более того, всякое направление всегда является осью первого порядка.

Слайд 7 из презентации «Симметрия вокруг нас»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Симметрия вокруг нас.pps» можно в zip-архиве размером 3944 КБ.

Симметрия

«Симметрия в геометрии» — Поворотная симметрия или поворот. Фокус со словами. Винтовая. Применение симметрии в различных областях науки и техники. Симметрия относительно точки. Одним я нравлюсь, другие Находят меня скучной. Раз, два, три и себя на место посади.(возвращение). Построение фигуры, симметричной данной относительно оси симметрии.

«Задачи по осевой симметрии» — Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник. Изобразите отрезок A’B’. Осевая симметрия переводит точку А в точку А’. Точка A’ симметрична точке A. Сколько осей симметрии имеет правильный n — угольник. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя. Две фигуры F и F’ называются симметричными.

«Математическая симметрия» — Осевая. Например: действие – противодействие, материя – антиматерия, и т. д. и т. п. Вращательная симметрия. Поступательная. Симметрия в химии и физике. Симметрия в химии. Вращательная. Простейший пример проявления физической симметрии – действие равно противодействию. Симметрия в искусствах. Точнее, какую роль играет симметрия в нашем мире?

«Симметрия в архитектуре» — Здесь побывала в прошлом году семья Костаревых. На фото: почта и городская резиденция Деда Мороза в г. Великий Устюг. Казань. Пример проявления золотого сечения. Красная площадь. Россия. Панорама города Великий Устюг. В прошлом году там побывала семья Ивановых. Франция, Париж. Изучить литературу по данной теме.

«Симметрия относительно прямой» — Прямая m – ось симметрии. Равнобедренный треугольник. Угол. Осевая симметрия. Савченко Миша, 9В класс. Симметрия на координатной плоскости. Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. На самом деле лицо человека не является идеально симметричным. На одной картинке совмещены левые половинки фотографии-оригинала, на другой – правые.

«Симметрия геометрических фигур» — Параллелограмм. Квадрат имеет четыре оси симметрии. В планиметрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией. Ромб. Ромб имеет две оси симметрии. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Круг. Когда красота притягивает, а исследование увлекает. Равносторонний треугольник. Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Источник

Занятие элективного курса по теме "Этот удивительный мир симметрии"

Цель: показать, что весь мир симметричен, что симметрия является общепризнанным критерием красоты, как в науке, так и в искусстве.

План:

  1. Господство симметрии в живой и не живой природе. Формы, виды симметрии.
  2. Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.
  3. Эстетическая ценность симметрии.
    а) симметрия в живописи.
    б) симметрия в архитектуре.
  4. Решение задач методом симметрии.
  5. Творческие работы учащихся по симметрии.

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль.

«Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всем в жизни симметрия?» (Л.Н. Толстой, «Отрочество»)

Вместе с Николенькой Иртеньевым из трилогии Льва Толстого задумаемся и мы над тем, почему в природе царит симметрия. Почему симметрично все живое от микроорганизмов до человека. Почему симметричное часто ассоциируется с прекрасным.

На первые два вопроса ответ существует: господство симметрии в природе, прежде всего объясняется силой тяготения, действующей во Вселенной.

Действием тяготения или отсутствием такого объясняется то, что и космические тела, плывущие Во Вселенной, микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигура совпадает сама с собой).

Все организмы, растущие в прикрепленном состоянии (деревья) или живущие на дне океана (морские звезды), т.е. организмы, для которых направление силы тяжести является решающим, имеют ось симметрии(множество всевозможных поворотов вокруг центра сужается до множества всех поворотов вокруг вертикальной оси.

Наконец, для животных, способных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме направления илы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные могут обладать только плоскостью симметрии, которая определяется векторами силы тяжести и направления движения.

Биологи эту плоскость симметрии называют билатеральной, а тип симметрии — зеркальным.

Ясно, что в случае асимметричного развития животного поворот в одну из сторон был бы для него затруднен и естественным для животного стало бы не прямолинейное, а круговое движение. Хождение по кругу рано или поздно закончится трагически для животного

Опыты с зеркалами: калейдоскоп.

Помните ли вы волшебные картинки в калейдоскопе, которые менялись от малейшего поворота? Они получены путём отражения в нескольких зеркалах мелких кусочков разноцветного стекла. Калейдоскоп позволит нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – СИММЕТРИИ.

1. Сделаем свой калейдоскоп из двух плоских зеркал, поставленных на плоскость под углом 120° друг к другу.

На плоскости между зеркалами поставим какой-нибудь предмет, в нашем случае это небольшой красный шарик. Мы видим, что он отражается в зеркалах 2 раза.

2. Уменьшим угол между зеркалами до 90°. Теперь шарик отражается 4 раза.

3. Уменьшим до 45° и наблюдаем, что отражений уже 8.

4. Теперь изменим угол между зеркалами до 30°. На этот раз отражений 18.

Во всех четырёх случаях мы наблюдаем явление симметрии. В любом случае в обоих зеркалах шарик отражается симметрично одинаковое количество раз.

Морская звезда — пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка. Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони и т. д.) и принципиально невозможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию 5-го порядка называют симметрией жизни. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности.

Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим с собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120° ,для колокольчика 72°, для нарцисса 60°.

Билатеральной симметрией обладает, например, автомобиль, одинаково хорошо поворачивающий и в право и влево, чего нельзя сказать о мотоцикле с коляской, который такой симметрией не обладает и постепенно вытесняется автомобилем и своим двухколесным (зеркально — симметричным) собратом.

Примеры симметрии в технике

Симметрия господствует на Земле благодаря силе тяготения. Более того, поскольку эта сила действует повсюду во Вселенной, то и предполагаемые космические пришельцы не могут быть безудержно чудовищными, как их порой изображают, а обязательно должны быть симметричными.

Таким образом, мы подошли к самому трудному вопросу: «почему симметрия приятна для глаз?» В чем тайна прекрасного, которая делает красоту предметом поклонения

Струи наклонно бьющих фонтанов привлекают правильностью и красотой своих линий. Хотя отнюдь не каждый знает, что это параболы, и тем белее не в состоянии написать их уравнения. Красота часто понятна интуитивно, без предварительной подготовки

«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

Это слова нашего соотечественника, академика Шубникова А.В. (1887-1970) посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь.

Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слова «симметрия», стечением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т.е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Таким образом, геометрический объект или физическое явление считается симметричным, если с ним можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными.

Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72°, займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звучит в любом углу комнаты, так как звук передается с помощью звуковых волн, обладающих симметрией.

Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии – поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию – однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства.

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества,магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии

Атомы твердых тел расположены очень плотно и симметрично.

Структурная формула бензола С6Н6 привлекает своей красотой, в основе формулы лежит правильный шестиугольник, обладающий многими видами симметрии.

«Принцип симметрии в XX веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов». В.И. Вернадский

«Новым в науке явилось не выявления принципа симметрии, а выявление его всеобщности», — писал академик В.И.Вернадский

Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха – геометрически симметричными в виде правильных многогранников.

И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной, принцип симметрии через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физический явлений.

Биология.

Так же мы можем рассмотреть симметрию в структуре строения молекулы ДНК:

В хромосомах, даже в размножении эвглены зеленой.

Размножаясь, она делится на абсолютно симметричные друг другу части.

Эстетическая ценность симметрии

Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.

Господство симметрии в природе, объясняется прежде всего эстетическая ценность симметрии для человека. С детства человек привык к билатерально симметричным родителям, затем у него появляются билатерально симметричные друзья ; он видит зеркальную симметрию в бабочках, птицах, рыбах, животных, поворотную в стройных елях и волшебных узорах снежинок, переносную – в оградах парков, решетках мостов, лестничных маршах, бордюрах, которые издревле были любимым декоративным элементом зеркальной симметрии.

Поворотная симметрия

Винтовая симметрия

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия.

Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света

Переносная симметрия

Человек привык видеть в природе вертикальные оси и плоскости симметрии, и вертикальные симметрии воспринимаются нами гораздо охотнее. Мы нигде не увидим обои с горизонтальными осями симметрии, ибо это вызвало бы неприятный контраст с вертикальной симметрией растущих из окна деревьев.

Единственная горизонтальная симметрия,которую мы встречаем в природе, — отражение в зеркале воды. Возможность, в необычности такой симметрии и заключается ее завораживающая сила.

Таким образом, симметрия воспринимается человеком, как проявления закономерности, порядка царящего в природе. Восприятие закономерного всегда доставляет нам удовольствие, сообщает некоторую уверенность и даже бодрость.

Итак, симметрия воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее проявления внутреннего порядка, начинает обладать эстетической ценностью, т.е. воспринимается как красота.

Простой пример нас убеждает в этом.

Чернильная клякса сама по себе некрасива. Но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит приятное впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы, т.е. закономерное расположение ее частей, и определяет красоту нашей «рукотворной « кляксы. Знание законов геометрической симметрии сделает такие поиски быстрыми и плодотворными.

На рисунке изображены узоры, полученные с использованием различных типов геометрической симметрии.

Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии, узоры на рисунке в называется бордюром и представляет собой тип переносной симметрии, когда предыдущая фигура совпадает с последующей при поступательном перемещении вдоль бордюра на постоянный интервал (шаг симметрии). Нижний бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная симметрия. Всего существует семь типов бордюров. На рисунке г показаны так называемые «розетки», которые получаются поворотом вокруг вертикальной оси на угол 360° /n (n=2,3,4, …), т.е. обладает симметрией n-го порядка. Верхняя розетка имеет поворотную симметрию 6-го разряда, средняя – 8-го разряда, нижняя же сочетает зеркальную и поворотную симметрию, но в то же время она имеет чисто поворотную симметрию 3-го разряда. На следующем рисунке показаны два орнамента из семнадцати возможных.

Другим важным фактором, составляющим эстетическое содержание симметрии, является ее целесообразность , которая также есть проявления закономерного. Уже первобытные люди понимали, что симметричные орудия более целесообразны, чем не симметричные, таким образом в эпоху неолита симметрия была выделена как наиболее совершенная форма, о чем свидетельствуют многочисленные украшения с симметричными рисунками.

Симметрия в искусстве.

Идея связи прекрасного с симметрией пронизывала всю греческую философию, все греческое искусство. Достаточно вспомнить строго симметричные формы античных архитектурных памятников, изумительную стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента.

Симметрия как объективный признак красоты проходит через всю историю искусств. Она использовалась в архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, средневековья и Возрождения.

Зеркальная симметрия: нагрудное украшение с именем фараона XX до н.э.

Переносная симметрия. Персеполь. Барельеф с
персидскими воинами. Начало 5 века.

Поворотная симметрия 12-го порядка: мозаика купола баптистерия в Равенна.V в.до.н.э. Италия

На следующих примера хорошо просматривается симметрия.

Архитектура и симметрия

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектура, живопись, скульптура и т. п. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий.

Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач.

Триумфальная арка. Москва 1834г. (слева)

Метод симметрии. Свойства симметрии. Решение задач.

Как мы знаем, слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении плоскостей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи. А для того, чтобы освоить «метод симметрии» надо сначала вспомнить основными свойствами симметрии.

  • Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой

  • Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам

  • Если отрезок MN симметричен отрезку относительно прямой l, то их длины равны.

Из свойств симметрии следует важное свойство плоскости.

— Если А – некоторая точка плоскости,а В точка на прямой, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АВ перпендикулярен l

Задача: (которая является классической задачей геометрии, входит в ее золотой фонд)Дана прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Найдем на прямой точку М, чтобы путь из А в В через М был кратчайшим, т.е. длина ломанной АМВ была бы наименьшей.

Построим точку А1,симметричную точке А относительно прямой l. Проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой.

Задача 2. Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А,В,С и стер ее, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность?

Точки В и С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярны ему. Аналогично и точки А и В. Таким образом, построив, перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС, мы получим точку их пересечения, Это центр окружности, так как через не проходит оба диаметра.

Задача 3. На плоскости дан острый угол и точка внутри него. Найти на сторонах угла две точки М и N так, чтобы длина замкнутого пути АМNА (АМ +MN + NА) была наименьшей.

Надо построить точки А1 иА2, симметричные точке А относительно сторон угла.. Прямая А1А21 пересечет стороны угла в искомых точках М иN.

Задача 4. На рисунке изображена сеть правильных треугольников. Не выполняя никаких построений, укажите:

а) точки, симметричные точкам В45, D3 относительно прямой А4D2.

б) образ отрезка В2С2 в результате последовательного отражения его от осей В3D2 и В1В5.

Задача 5. Выберите из данного множества точек: (1;5), (3;-2), (-1;5), (0;-7), (5;-1), (0;7), (-2;3), (4;0), (0;4), (2;1), (1,-10) точки попарно симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов.

Источник



Проектно-исследовательская работа по теме поворотная симметрия n-ого порядка

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

С темой осевая, центральная, зеркальная, поворотная симметрии учащиеся впервые встречаются на уроках наглядной геометрии в 5-6 классах. В 8 классе изучаются не только понятие симметрии, но вводятся определения и рассматриваются их свойства. Большое внимание уделяется симметрии в живой, неживой природе, архитектуре, декоративном искусстве, математике, литературе. В данной работе было решено остановиться на поворотной симметрии, и рассмотреть ее в растительном (цветочном), животном мире, в декоративно-прикладном искусстве, монументальном, связанном с архитектурой (в витражах, мозаике, рельефах и др.), в мотивах орнаментов. Выяснить, какие порядки поворотной симметрии наиболее часто встречаются в жизни. Научиться делить окружность на 3,4,5,6, 8, 10,15 равных частей с помощью циркуля и линейки и освоить простой и, что важно, пригодный в разных ситуациях приближенный метод решения задачи для n=7;9 с помощью практического приема французского математика Н. Биона.

изучение понятия поворотной симметрии, примеров ее проявления в природе и человеческой культуре и практических методов построения поворотно-симметричных объектов.

поворотной симметрия как вида преобразования плоскости. Другие виды симметрий;

поворотной симметрии в живой природе- цветы глазами математика;

поворотной симметрии в искусстве

Рассмотреть геометрические методы построения поворотно-симметричных объектов- геометрия орнамента и деление круга на n-равных частей.

Осевая (зеркальная) симметрия.


Центральная симметрия.


Поворотная симметрия.


Зеркально-поворотная симметрия.


Осевая (зеркальная) симметрия.

Две точки называются симметричными относительно прямой a , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.

Источник

Значение симметрии в понятии природы

Мы обратили внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

К понятию о симметрии мы привыкаем с детства. Мы знаем, что симметрична бабочка: у неё одинаковы правое и левое крылышки; симметрично колесо, секторы которого одинаковы; симметричны узоры орнаментов, звёздочки снежинок.

Сам термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность», которую древние философы понимали как частный случай гармонии — согласования частей в рамках целого. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле — как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Проблеме симметрии посвящена поистине литература с учебников и научных монографий до произведений, обращающих внимание не столько на чертежи и формулы, сколько на художественные образы.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С ней мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Получается, что симметрия — это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство. Она многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию. Симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям — к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир, именно поэтому выбранная мной тема всегда будет актуальной.

Целью исследования выступает изучение связи симметрии с природой.

Исходя из поставленной цели, задачами настоящей работы являются:

— определить значение симметрии в понятии природы,

— рассмотреть некоторые виды симметрии,

— изучить симметрию в природе, в мире растений и животных, в неживой природе.

Значение симметрии в понятии природы

Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлого. Вносимая симметрией упорядоченность проявляется, прежде всего, в ограничении многообразия возможных структур, в сокращении числа возможных вариантов. Идея симметрии часто служила ученым путеводной нитью при рассмотрении проблем мироздания. Наблюдая хаотическую россыпь звезд на ночном небе, мы понимаем, что за внешним хаосом скрываются вполне симметричные спиральные структуры галактик, а в них — симметричные структуры планетных систем. Симметрия внешней формы кристалла является следствием ее внутренней симметрии — упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов, так называемой кристаллической решетки.

Согласно современной точке зрения, наиболее фундаментальные законы природы носят характер запретов. Они определяют, что может, а что не может происходить в природе. Так, законы сохранения в физике элементарных частиц являются законами запрета. Они запрещают любое явление, при котором изме-нялась бы «сохраняющаяся величина», являющаяся собственной «абсолютной» константой (собственным значением) соответствующего объекта и харак-теризующая его «вес» в системе других объектов. И эти значения являются аб-солютными до тех пор, пока такой объект существует.

В современной науке все законы сохранения рассматриваются именно как законы запрета. Так, в мире элементарных частиц многие законы сохранения по-лучены как правила, запрещающие те явления, которые никогда не наблюдаются в экспериментах.

В. И. Вернадский писал в 1927 году: «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности». Действительно, все-общность симметрии поразительна. Симметрия устанавливает внутренние связи между объектами и явлениями, которые внешне никак не связаны.

Всеобщность симметрии не только в том, что она обнаруживается в разно-образных объектах и явлениях. Всеобщим является сам принцип симметрии, без которого по сути дела нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы, будь то проблема жизни или проблема контактов с внеземными цивилизациями.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики эле-ментарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.

Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир, попросту, не смог бы существовать.

Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:

1) объект — носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.

2) некоторые признаки — величины, свойства, отношения, процессы, явления — объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.

3) изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;

4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.

Важно подчеркнуть, что инвариант вторичен по отношению к изменению; покой относителен, движение абсолютно.

Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.

Виды симметрии

Существует очень сложная многоуровневая классификация типов симметрий. Мы рассмотрим основные ее виды.

В быту мы чаще всего сталкиваемся с так называемой зеркальной симметрией. Это такое строение объектов, когда их можно разделить на правую и левую или верхнюю и нижнюю половины воображаемой осью, называемой осью зеркальной симметрии. При этом половины, находящиеся по разные стороны оси — идентичны друг другу.

Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость — плоскостью симметрии этой фигуры. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его отражение в плоском зеркале. Два симметричных тела не могут быть «вложены друг в друга», так как в сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.

Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга. Наблюдаемый в зеркале двойник не является точной копией самого объекта. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой. Поднесите к зеркалу книгу, — и вы увидите, что буквы как бы вывернуты наизнанку. В зеркале всё переставлено справа налево.

Зеркально равными телами называются тела, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела.

Внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси. Симметрия, возникающая при этом, называется поворотной симметрией. Листья и цветы многих растений обнаруживают радиальную симметрию. Это такая симметрия, при которой лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит в себя. На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия. Соцветия многих цветков также обладают радиальной симметрией.

Осевая симметрия это результат поворота абсолютно одинаковых элементов вокруг общего центра. При этом они могут располагаться под любым углом и с различной частотой. Главное, чтобы элементы вращались вокруг единого центра. В природе, примеры осевой симметрии чаще всего можно найти среди растений и животных, которые растут или перемещаются перпендикулярно к поверхности Земли. Также существует винтовая симметрия.

Трансляцию можно комбинировать с отражением или поворотом, при этом возникают новые операции симметрии.

Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию — симметрию винтовой лестницы.

Пример винтовой симметрии — расположение листьев на стебле многих растений.

Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. Самые молодые члены спирали находятся в центре. В таких системах можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым.

Симметрия основана на подобии. Она означает такое соотношение между элементами, фигурами, когда они повторяют и уравновешивают друг друга.

Еще один тип симметрии — симметрия подобия, связанная с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Примером такого рода симметрии служит матрешка. Очень широко распространена такая симметрия в живой природе. Ее демонстрируют все растущие организмы.

Нами рассмотрены некоторые виды симметрии, но существует много и других видов, имеющих абстрактный характер. Например, перестановочная симметрия, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит; наследственность — это тоже определенная симметрия.

Симметрия в природе

Фигура обладает симметрией, если существует движение (преобразование не тождественное), переводящее ее в себя. Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом. Но в природе с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мироздание.

Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.

Говоря о роли симметрии в процессе научного познания, следует особо выделить применение метода аналогий. По словам французского математика Д. Пойа, «не существует, возможно, открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни, пожалуй, в любой другой области, которые могли быть сделаны без аналогий». В основе большинства этих аналогий лежат общие корни, общие закономерности, которые проявляются одинаковым образом на разных уровнях иерархии.

Итак, в современном понимании симметрия — это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.

Источник

Adblock
detector