Общие сведения о параллельном переносе

Параллельный перенос

В данной статье мы будем рассматривать понятие параллельного переноса в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Основными примерами движений в геометрии являются осевая симметрия, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот и параллельный перенос. Доказательство того, что параллельный перенос действительно является движением, нами будет рассмотрено ниже.

Параллельный перенос

Введем теперь, непосредственно, понятие параллельного переноса на какой-либо вектор. Пусть нам дан вектор $\overline<α>$.

Параллельным переносом на вектор $\overline<α>$ будем называть такое отображение плоскости само на себя, при котором произвольная точка $M$ отображается на такую точку $M_1$, что выполняется равенство $\overline=\overline<α>$ (Рис. 2).

Введем следующую теорему, связанную с понятием параллельного переноса.

Параллельный перенос — движение.

Рассмотрим в пространстве две произвольные точки $M$ и $N$. Будем рассматривать параллельный перенос на данный нам вектор $\overline<α>$. Пусть при нашем параллельном переносе данные нам точки отображаются, соответственно, в точки $M_1$ и $N_1$ (рис. 3).

Тогда, из определения равных векторов будем получать, что

Получаем, что четырехугольник $MM_1N_1N$ будет являться параллелограммом и, как следствие, верно равенство: $|MN|=|M_1N_1|$. Отсюда получаем, что параллельный перенос будет сохранять расстояния, что и доказывает нашу теорему.

Пример задачи

Постройте параллельный перенос куба на вектор $\overline$, изображенных на рисунке 4.

Для построения параллельного переноса сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, параллельные заданному нам вектору $\overline$ (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $X$ перейдет в такую точку $X_1$, которая будет принадлежать прямой $x$. Точка $Y$ перейдет в такую точку $Y_1$, которая будет принадлежать прямой $y$. Точка $Z$ перейдет в такую точку $Z_1$, которая будет принадлежать прямой $z$. Точка $O$ перейдет в такую точку $O_1$, которая будет принадлежать прямой $o$. Точка $X’$ перейдет в такую точку $X’_1$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $Y’$ перейдет в такую точку $Y’_1$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $Z’$ перейдет в такую точку $Z’_1$, которая будет принадлежать прямой $c$. Точка $O’$ перейдет в такую точку $O’_1$, которая будет принадлежать прямой $o’$. Причем будут выполняться равенства:

$\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$, $\overline=\overline$

Отметим эти точки (рис. 6).

Соединив эти точки между собой, мы и получим искомый нами параллельный перенос на вектор $\overline$ (рис. 7).

Источник

Параллельный перенос пример в природе

Параллельный перенос и его свойства

Содержание

Общие сведения о параллельном переносе

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у + b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами x’ = x + а, у’ = у + b.

Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос и его свойства

Свойства параллельного переноса

Параллельный перенос есть движение.

Действительно, две произвольные точки А(х1; у1) к В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А’ (х1 +а; у1 + b), В'(х2 + а; y2+b). Поэтому
АВ 2 =(х21) 2 + (у21 ) 2

Отсюда АВ=А’В’. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос и его свойства

Действительно, пусть точки A (x1; y1) и В (x2; y2) переходят в точки A'(x1+а; y1 + b) и В’ (х2 + а; y2 + b) (рис. 200). Середина отрезка АВ’ имеет координаты

Формула
Те же координаты имеет и середина отрезка А’В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА’В’В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны А А’ и ВВ’ параллельны и равны.

Заметим, что у параллелограмма АА’В’В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А ‘В’. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА’. В случае, когда точка В лежит на прямой АА’, точка В’ тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ’ совпадает с серединой отрезка ВА’ (рис. 201). Значит, все точки А, В, А’, В’ лежат на одной прямой. Далее,

Формулы

Таким образом, в этом случае точки АиВ смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние 22-06-150.jpg а прямая АВ переходит в себя.

Повторение темы о параллельном переносе

Мы с вами уже познакомились с такой темой, как параллельный перенос. На этом уроке вы узнали, что такое преобразование на плоскости, где все точки перемещаются на одно и то же расстояние, считается параллельным переносом.

Из данного урока, каждому из вас стало понятно, что параллельный перенос является движением, так как при таком переносе любая прямая переходит в такую же параллельную ей прямую.

параллельный перенос

Если мы посмотрим на рисунок, то можем наглядно представить такое движение, как сдвиг площади в направлении данного вектора на его длину.

Свойства, которыми обладает параллельный перенос в пространстве

• Во-первых, параллельный перенос является движением;
• Во-вторых, при выполнении этого действия все точки смещаются по параллельным прямым и притом на одно и то же расстояние;
• В-третьих, при таком переносе прямая имеет свойство переходить в такую же параллельную прямую или в себя саму;
• В-четвертых, независимо от того, какими точками были A и A’, но точка A переходит в точку A’.
• В-пятых, при таком переносе, т.е параллельном переносе в пространстве, в любом случае плоскость имеет свойство переходить в себя саму или же такую же параллельную ей плоскость.

параллельный перенос

Истрия и применение в науке

Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

параллельный перенос

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом. В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Примеры из жизни

В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве. Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве.

А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

параллельный перенос

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Источник



Параллельный перенос в повседневной жизни

Параллельный перенос в повседневной жизни. Каждый день мы видим параллельный перенос вокруг нас. Будь это движение машины, или же движение человека и даже отпечатки его ног.

Слайд 17 из презентации «Параллельный перенос»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Параллельный перенос.ppt» можно в zip-архиве размером 3679 КБ.

Похожие презентации

«Правила переноса слов» — II.Операционно- исполнительский этап-. Я вперед быстрей бегу. Отгадайте ребус: Вспоминайка. Росли. Обобщение знаний. Рас – сказ груп – па хок – кей ван-на. Из одного слога не переносятся. Другую переносят. Дбр тр! Аллея. Ручки, книжки и тетрадки. Кровь, рост, край, Наблюдаем. 1,2,3,4,5 вышли дети погулять.

«Перенос слов» — Ландыши. Глядь – зверь, не зверь. -Ты кто? Как так – кыш? Паук. Со-бака соба-ка. Не всегда у трёхсложных слов есть два способа переноса. Ёжики, ежата, ежиха, ежовый, ежонок. Па- ук. Ёж. Напишите буквы в заданной последовательности: Ко-рова коро-ва. Желаю солнечного настроения. Какие тайны переноса слов мы открыли?

«Правила переноса» — Едва – е-два. Ули – ца Ошиб – ка Паль-то Зай –ка Ко-ро -бок. Опять – о-пять Теперь, наверно, будет пять. Пружина ландыши ежата смородина. У-лица Ошиб –ка Па-льто За –йка Коробо-к З-дание. Нельзя отделять одну букву от слова. Букву й не отделяй от гласного. Переноси слова по слогам Одну букву нельзя отделять от слова.

«Параллельный перенос в пространстве» — Параллельный перенос различных фигур. Параллельный перенос. Движение в пространстве Параллельный перенос. Параллельный перенос в пространстве.

«Параллельные прямые» — Признаки параллельности прямых. Отсюда следует, а и в перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Ч.Т.Д. Две прямые имеют одну общую точку, то есть пересекаются. Параллельные прямые. Доказательство: Признаки параллельности двух прямых.

«Параллельный перенос» — У. Координатная плоскость (х;у). Х. Решение: Графические приемы. Второе семейство у =-а?+2а+3 представляет собой множество прямых, параллельных оси абсцисс. Параллельный перенос.

Источник

Параллельный перенос Автор : Шаляпина Юлия Григорьевна. — презентация

Презентация на тему: » Параллельный перенос Автор : Шаляпина Юлия Григорьевна.» — Транскрипт:

1 Параллельный перенос Автор : Шаляпина Юлия Григорьевна

2 Определение Паралле́льный перено́с или трансляция частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

3 На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат при помощи где вектор.

5 ture=player_embedded&v=kAQ9J8E oFUM ture=player_embedded&v=kAQ9J8E oFUM (смотреть с минуты)

6 Примеры из жизни Следы от подошвы, перестановка мебели в квартире. Наглядным примером плоскости параллельного переноса может служить скользящая опалубка, применяемая в строительстве.

9 Истрия и применение в науке Кто открыл неизвестно. Применяется при преобразовании графиков функций в высшей матиматике. Параллельное перенесение обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств. Поступательное движение движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.

10 Применение в науке Трансляция (кристаллография) — симметричное преобразование, в результате которого узел пространственной решётки совпадает с другим ближайшим идентичным узлом. В этом смысле она является частным случаем параллельного переноса. Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции. Например, однородная среда совмещается сама с собой при сдвиге на любой вектор, поэтому для неё свойственна трансляционная симметрия.

11 Вопросы Что такое параллельный перенос? Какие свойства параллельного переноса вы знаете? Придумайте примеры из жизни, которые связаны с параллельным переносом. В каких областях науки применяется?

Источник

Adblock
detector